Bijektivität, wenn |D f|<>0 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Warum ist eine Funktion bijektiv, wenn die Determinante ihrer Jacobimatrix ungleich null ist? In meiner Vorlesung wurde dies stillschweigend vorausgesetzt. Über eine Plausibilitätserklärung oder einen Beweis würde ich mich sehr freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 So 12.04.2009 | | Autor: | ullim |
Hi mathpsycho,
> Warum ist eine Funktion bijektiv, wenn die Determinante
> ihrer Jacobimatrix ungleich null ist? In meiner Vorlesung
> wurde dies stillschweigend vorausgesetzt. Über eine
> Plausibilitätserklärung oder einen Beweis würde ich mich
> sehr freuen.
für de Fall n=1 kann man sich das noch gut erklären. Voraussetzung ist aber das die Funktion stetig diferenzierbar ist, also die ertse Ableitung noch steig ist. Die Jakobimatrix entspricht in diesem Fall der 1'ten Ableitung. Ist diese ungleich 0, bedeutet das, dass die Funktion auch in einer Umgebung um den betrachteten Punkt ungleich Null ist (wegen der Stetigkeit), also besitzt die Funktion in dieser Umgebung immer das gleiche Vorzeichen. Somit ist sie streng monoton (wachsend oder fallend). Damit ist die Funktion umkehrbar und bijektiv.
Für den allgemeinen Fall läuft es auf den Satz über Implizite Funktionen heraus, s. hier
![[]](/images/popup.gif) Satz über implizite Funktionen
insbesondere ist der Teil über die Umkehrfunktion relevant.
mfg ullim
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Das Nichtverschwinden der Jacobi-Determinante erlaubt nur den Schluß auf lokale Umkehrbarkeit. Ein schönes Beispiel dazu ist die komplexe Exponentialfunktion:
[mm]\operatorname{e}^z = \operatorname{e}^{x + \operatorname{i}y} = \operatorname{e}^x \cos y + \operatorname{i} \operatorname{e}^x \sin y[/mm]
Reell betrachtet geht es also um die Funktion [mm]f[/mm] mit
[mm]f(x,y) = \left( \operatorname{e}^x \cos y \, , \, \operatorname{e}^x \sin y \right) \ \ \mbox{für} \ \ (x,y) \in \mathbb{R}^2[/mm]
Und die Jacobi-Determinante hiervon ist [mm]\operatorname{e}^{2x} \neq 0[/mm]. Dennoch ist die Funktion nicht bijektiv. Beachte dazu die Periodizität der trigonometrischen Bestandteile.
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